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Nach dem Erwartungswert sind die Varianz und die Standardabweichung (als Wurzel der Varianz) die wichtigsten Kennzahlen einer Verteilung. Ist der Erwartungswert ein Maß für die Lage der Verteilung, beschreiben Varianz und Standardabweichung die Streuung der Werte einer Zufallsvariable um den Erwartungswert. Die Definition und Eigenschaften werden besprochen und an zahlreichen Beispielen erläutert.

Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist die wichtigste Kennzahl, um Ergebnisse von Zufallsexperimenten zu beschreiben. Seine Definition und Eigenschaften werden ausführlich erläutert. An zahlreichen Beispielen wird seine Berechnung vorgeführt; dabei werden nebenbei wichtige Wahrscheinlichkeits-Verteilungen vorgestellt.

Die Herleitung der Chernoff-Schranke beruht auf der momentenerzeugenden Funktion. Für den Spezialfall der Binomialverteilung kann die optimale Chernoff-Schranke explizit berechnet werden und es geht außer der Markov-Ungleichung keine weitere Näherung ein. Um die Vorgehensweise bei der Berechnung der Chernoff-Schranke besser verständlich zu machen, werden alle Herleitungsschritte besprochen und mit zahlreichen Diagrammen veranschaulicht.

Zu den wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt es Funktionen zum Berechnen der Wahrscheinlichkeitsdichte, der Verteilungsfunktion, des p-Quantils und zum Erzeugen von Zufallszahlen. Für ausgewählte Verteilungen (Binomialverteilung, Poisson-Verteilung, kontinuierliche Gleichverteilung und Normalverteilung) werden diese Funktionen vorgestellt. Dabei werden typische Anwendungen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik gezeigt, die zugleich einige Eigenschaften dieser Verteilungen illustrieren.

Dar Datentyp Tabelle (table) wird verwendet, um Kontingenz-Tabellen zu erzeugen und auszuwerten. Einfachere Anwendungen, um die levels in einem Faktor zu zählen, wurden bereits in den Kapiteln über Faktoren beschrieben.

Inhalt und Lernziele des Kapitels Zusammengesetzte Datentypen in R.

Inhalt und Lernziele des Kapitels Einfache Datentypen in R.

Zufallsvariablen können diskrete oder kontinuierliche Werte annehmen. Die mathematische Beschreibung unterscheidet sich, da die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsvariable entweder mit Folgen oder indirekt über eine Wahrscheinlichkeitsdichte angegeben werden. Diese Beschreibung wird an speziellen Verteilungen demonstriert: diskrete Gleichverteilung, Poisson-Verteilung, kontinuierliche Gleichverteilung, Standard-Normalverteilung.

Die Tschebyscheff-Ungleichung als einfachste Konzentrations-Ungleichung wird aus mehreren Perspektiven beleuchtet: Es werden Beispiele für ihre typische Anwendung besprochen; es wird ein direkter Beweis gegeben; es wird gezeigt, dass sie als Spezialfall der verallgemeinerten Markov-Ungleichung aufgefasst werden kann; es wird diskutiert, wie gut die Abschätzung ist, die sie liefert. In den R-Skripten werden die Berechnungen aus den Anwendungsbeispielen ausgeführt, die man ohne Programmierung kaum bewältigen könnte.

Zufallsvariablen sind die geeignete Begriffsbildung um sowohl Ereignisse als auch deren Wahrscheinlichkeiten treffend zu beschreiben und zu berechnen. In späteren Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Zufallsvariablen ständig eingesetzt. Hier wird zunächst gezeigt, wie Zufallsvariablen mit der Ereignisalgebra und dem Wahrscheinlichkeitsmaß zusammenhängen und sich so nahtlos in den Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung einfügen. In den R-Skripten wird gezeigt, wie man Zufallsvariable leicht modellieren kann.

Ein Algorithmus zur Simulation von N Spielen am k-armigen Banditen (multi-armed bandit) wird in R implementiert. Der Algorithmus erlaubt die Auswahl einer Strategie zur Wahl des nächsten zu spielenden Armes. Als Strategien stehen die im Artikel "Der mehrarmige Bandit (multi-armed bandit): Simulationen mit einfachen Algorithmen vorgestellten Strategien zur Auswahl, es können aber leicht weitere Strategien implementiert und eingefügt werden.

Um beim Spiel am mehrarmigen Banditen einen möglichst hohen Gewinn zu erzielen, benötigt man eine Strategie, die einen Kompromiss zwischen Exploration und Exploitation herstellt. Es werden einfache Algorithmen vorgestellt, die dieses Problem lösen und ihre Eigenschaften werden mit Hilfe von Simulationen untersucht.

Kleiner Ratgeber mit methodischen Hinweisen zum Selbststudium.

Beim mehrarmigen Banditen oder genauer k-armigen Banditen kann man ein Glücksspiel durch Betätigen eines Armes auslösen. Mathematisch modelliert werden sie durch Zufallsvariablen mit unterschiedlichen Erwartungswerten. Möchte man am k-armigen Banditen N Spiele durchführen und dabei einen möglichst hohen Gewinn erzielen, gerät man in ein Dilemma: Einerseits muss man alle Arme untersuchen, um ihre Kennzahlen zu schätzen (Exploration), andererseits möchte man möglichst oft den besten Arm betätigen (Exploitation). Im nächsten Kapitel werden dann Algorithmen entwickelt, die versuchen einen Kompromiss zwischen Exploration und Exploitation herzustellen.

Ein wichtiger Bestandteil des Monte-Carlo-Tree-Search-Algorithmus ist es, aus einer gegebenen Spielsituation zahlreiche Spiele auszuführen, bei denen die Züge zufällig ausgewählt werden. Die Ergebnisse dieser Simulationen bestimmen dann, wie der Algorithmus den Spielbaum weiter untersucht. Um besser nachvollziehen zu können, wie der Monte-Carlo-Tree-Search-Algorithmus den Spielbaum untersucht und für die möglichen Züge Gewinn-Wahrscheinlichkeiten schätzt, werden für das Zahlenspiel 3-5-11 die Formeln hergeleitet, wie man zu gegebenem Anfangswert die Gewinn-Wahrscheinlichkeit berechnen kann, wenn sämtliche Züge eines Spiels zufällig ausgewählt werden (mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit). Ferner werden Simulationen mit unterschiedlichen Anzahlen von Spielen durchgeführt, um zu beurteilen, wie gut die Ergebnisse der Simulation mit den berechneten Gewinn-Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen.

Als weitere Methode zur Lösung von Abzählproblemen wird die Rekursion vorgestellt. Dies geschieht am Beispiel eines Zahlenspiels, für das der vollständige Spielbaum entwickelt wird. Dieser wirkt zwar sehr unregelmäßig und kann mit den bekannten kombinatorischen Formeln nicht bewältigt werden, aber aufgrund seiner rekursiven Struktur lassen sich Abzählprobleme auf das Aufstellen der Rekursionsformel und der Behandlung des Basisfalls zurückführen.

Um die Vorgehensweise beim Monte-Carlo-Tree-Search-Algorithmus besser erklären zu können, wird zunächst ein einfaches Zahlenspiel vorgestellt und analysiert. Es handelt sich um eine Variation des Nim-Spiels, für das man eine einfache Gewinnstrategie angeben kann und bei dem mit dem Anfangswert bereits festgelegt ist, welcher Spieler den Gewinn erzwingen kann. Dies hat den Vorteil, dass man später besser nachvollziehen kann, wie der Monte-Carlo-Tree-Search-Algorithmus vorgeht.

Programmieraufgaben zur Anwendung von Feldern und Zeigern, die im Sinne der strukturierten Programmierung zu lösen sind. Die Quelltexte sollen in reinem C geschrieben werden, also keine Konzepte verwenden, die nur in C++ verfügbar sind.

Felder werden durch Zeiger organisiert und es ist gerade ein Charakteristikum der Sprache C, dass dies nicht nur intern verwendet wird, sondern dass man diesen Mechanismus selbst nutzen kann. Für den Einsteiger ist dies meist mit Schwierigkeiten verbunden, da man oft nicht entscheiden kann, mit welchem Objekt man gerade arbeitet (Zeiger oder Variable eines fundamentalen Datentyps). Die meisten der mit Feldern verbundenen Schwierigkeiten wie etwa die Zeigerarithmetik, die Ausgabe und der Vergleich von Feldern werden erklärt. Wie man Felder an Funktionen übergibt oder als Rückgabewert zurückerhält, wird im nächsten Kapitel erläutert.

In einem Feld werden mehrer Komponenten von gleichem Datentyp zu einem Objekt zusammengefasst. Die Anzahl der Komponenten muss bei der Deklaration angegeben werden und darf sich während der Laufzeit des Programmes nicht ändern. Der häufigste Fehler beim Umgang mit Feldern besteht im Zugriff auf Komponenten jenseits des deklarierten Bereichs, was zu unbestimmtem Verhalten des Programmes führen kann. Die unterschiedlichen Möglichkeiten zur Initialisierung eines Feldes werden vorgestellt. Felder können in beliebig vielen Dimensionen angelegt werden; besprochen werden hier nur eindimensionale Felder (Vektoren) und zweidimensionale Felder (Matrizen).